문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 2009 개정 교육과정/수학과/고등학교/기하와 벡터 (문단 편집) ==== Ⅳ. 공간벡터[* 일부 교과서는 III단원에 통합돼있다. 다만, 정식 교육과정상에서는 IV단원으로 분리되는 것이 원칙.] ==== * '''공간벡터''': 1학년 때 배운 선분의 중점, 내분점, 외분점의 [[좌표]], 삼각형의 무게중심 등을 다시 보고, 그때 배웠던 공식에서 z성분만 추가된다.[* 원래의 두 점과 내·외분점이 한 직선 위에 있음을 이용할 때, 길이 비를 구한 다음 벡터의 실수배를 이용하여 내·외분점의 좌표를 구할 수 있다.] 평면벡터에서 z성분만 추가된 것 말고는 달라진점은 없다. 벡터의 개념이 부족하다면 2단원 '''평면벡터'''로 돌아가서 복습하는 것을 추천한다. 이 파트는 3단원에서 배운 공간도형에다가 벡터를 끼얹어서 내분 · 외분점의 위치와 내적값의 최대 · 최소를 묻는 방식으로 엮어서 문제가 나온다. 또, 벡터의 내적을 이용하여 이면각의 크기도 구할 수 있게 된다. 후술할 도형의 방정식 파트에서도 직선과 평면의 방정식을 정의할때, 공간벡터가 사용된다. * '''도형의 방정식''': 이제 더이상 좌표평면이 아닌, 좌표공간에서의 직선 · 평면의 방정식을 배운다. 여기서 배우는 직선의 방정식은, 수1에서 배운 직선이랑 착각하면 안된다. '''평면이 아닌, 공간상을 떠도는 직선이기 때문에 수1에서 배운거와는 차원이 다르다. 좌표공간에서의 직선의 방정식은, 벡터를 이용해야만 정의가 되기 때문에 그냥 새 파트가 시작되었다고 생각해야 맘이 편하다.''' 공간상에서의 직선은 '''방향벡터'''를 이용하는데, 방향을 결정하는 벡터와 지나는 한 점을 이용하여 '''벡터방정식'''으로 정의한다. 또, 이를 제 3의 문자 t를 도입하여 t에 관한 '''매개변수 방정식'''으로 나타낼 수 있다. 참고로 직선의 벡터방정식을 언제든지 매개변수 방정식으로 변형할 줄 알아야 한다. 그리고나면 이제 평면의 방정식을 배우게 된다. 평면의 방정식은 '''법선벡터'''를 이용하여 벡터의 내적이 0인 자취와 지나는 한 점을 이용하여 '''벡터방정식'''으로 정의한다. 그리고나서 이 법선벡터를 성분화하여 수식으로 풀어해치면 x,y,z의 일차방정식꼴, 즉 '''음함수'''로 나타내어진다. 이 역시 평면의 벡터방정식에서 음함수로의 변형을 자유롭게 할 줄 알아야 한다. 마지막으로 '''구의 벡터방정식'''도 배우게 된다. 간혹 처음 배우는 학생들이 평면상에서의 직선의 방정식이랑 혼동하는 경우가 많다. 예를들어, x축과 y축만 존재하는 평면좌표 상에서는 y=2x라는 그래프는, 기울기가 2인 직선으로 그려진다. 그러나 z축까지 존재하는 공간좌표 상에서는 z에 관한 정보가 별도로 없으면, xy평면상에서 기울기가 2인 직선으로 그려진 상태에서, z축의 방향으로 '''주욱''' 펼쳐진 '''평면'''으로 그려진다. 공간벡터를 처음 배우는 입장이라면 반드시 구분해놓도록 하자. 문제에서 좌표__공간__에서의 y=2x라 하면 (물론 x와 y로만 이루어진 모든 일차함수 포함), 그것은 더이상 직선의 방정식이 아니라 __평면__의 방정식이다. 평면좌표에서 정의된 원은 공간좌표에서는 __원기둥__이 된다. 평면좌표에서 정의된 모든 곡선들은 공간좌표에서는 __곡면__이 된다. 예를들어 z=cos(y)라는 그래프는, yz평면상에서 코사인곡선으로 그려지고나서, 그것을 x축의 방향으로 쭉 늘린것이다. 마치 파도 모양처럼. 이정도만 이해하면 공간에 대한 이해는 어느정도 된것이다. 고등학교 이과수학에서 가장 마지막에 배우는 내용으로써 맨 뒷부분인 '''3차원, 공간상에서의 직선의 방정식, 평면의 방정식'''은 모든 공간 도형, 공간 벡터를 한 번에 정리할 수 있는 수준에 도달해야 이해하기에 쉽다. 이 부분은 2단원에서 배운 평면 벡터, 3단원에서 배운 공간도형과 공간좌표를 총체적으로 등장시킨다. 점, 직선, 평면, 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 각기둥 및 원기둥, 각뿔 및 원뿔, 원, 타원, 구의 관계를 많이 묻는다. 이런 문제를 푸는 유형은 두가지가 존재하는데, 하나는 '''기하학적'''으로 접근하여, 도형의 성질을 이용해서 푸는 방법이 있고, 다른 하나는 '''대수적'''으로 접근하여, 임의로 x,y,z축 좌표계를 도입하여 좌표계산으로 푸는 방법이 있다. 이 단원을 잘하려면 두 가지 방법 모두 통달해야한다. 기하학적으로 접근해서 푸는것이 사고력 향상에 더 도움이 되겠지만, 그렇게로만 풀기에는 너무나도 어려운 문제가 많기 때문에 고등학생 수준에서는 한계가 존재한다. 그래서 기하학적으로 접근해서 삼수선 등을 이용해서 직각을 찾아내고, 직각이 있는곳에 적당히 xyz좌표계를 도입해서 푸는것이 가장 바람직하다. 우리가 3단원에서 삼수선과 공간좌표를 배운 이유가 여기에 있다. 참고로 교과외 과정인 '''벡터의 외적'''을 알아두면, xyz좌표계를 도입해서 풀때 상당히 많은 도움이 된다. 두 벡터를 외적하게 되면, 두 벡터가 이루는 평면에 대한 법선벡터가 나오게 되며, 그 법선벡터의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같기 때문에 정말로 유용하다. 주로 좌표공간에서 세 점이 이루는 평면의 법선벡터를 구할때, 또는 세 점이 이루는 삼각형의 넓이를 구할때, 이 두가지 상황에서 쓰인다. 평가원은 절대로 벡터의 외적을 쓰면 쉽게 풀리는 문제를 내진 않는다. 하지만 우리는 평가원의 의도대로 풀지 않고 조금 먼길로 돌아가서 풀때가 있는데, 그때서 외적이 쓰일때가 있다. 사실 수1때 학원에서 배워봤을 '사선공식'도 벡터의 외적으로부터 나온 공식이다. 적어도 기하와 벡터를 배우는 입장해서는 더도 말고 덜도 말고 제2 코사인법칙, 벡터의 외적만큼은 꼭 알아두자. 사인법칙, 방향코사인까지 알아두면 더 좋지만 몰라도 상관없다. 관심이 있다면 유튜브에서 한번쯤은 들어보는 것을 추천한다. 이 단원에서 29번 문제가 공간도형/공간좌표 단원과 엮어서 출제된다. 지금까지 배워온 모든 기하적 성질을 여기다가 적용해 보려는 연습이 필요하다. 그렇지만 가장 중요한 것은, 바로 삼수선의 정리이다. 이 삼수선을 얼마나 자유자재로 이용하냐에 따라 푸는 시간이 결정된다. 14학년도부터 18학년도 9월 모평 및 수능 29번 문제 풀이를 보면, 거의 대부분 문제가 삼수선의 정리를 한 번쯤은 써서 직각을 찾아낸다. 그리고 단면화 과정도 굉장히 중요하다. 아까도 말했다시피 공간도형은 존재하지 않고, 오로지 평면도형만 존재한다. 그리고 그 그림들은 우리한테 왜곡되어 3D로 보이는것 뿐이기 때문에 단면화를 시켜서 그 왜곡현상을 빨리 없애주는 것이 좋다. 그리고 좌표화를 충분히 연습해라. 어차피 수능 시험장에서 29번을 기하적 접근으로만 푸려고 하는것은 미친짓이다. 기하적 접근으로 풀다가 직각이 보이면 융통성있게 좌표화 시켜서 그것을 좀 더 쉽게 풀어 해쳐나가는 연습이 필요하다. 어떤 선생님들은 잘 모르겠으면 일단 좌표화부터 쓰라고 하는데, 그것도 잘못된 말이라고 단정지을 수 있다. 좌표화는 좌표화 나름대로 푸는 매커니즘이 있기 때문에 충분한 연습이 없다면 수능날에서 좌표화로 풀다가 버벅댈 수 있다. 정사면체와 정팔면체의 좌표잡는 방법은 따로 정해져 있으니 그 방법을 익히도록 할 것. 우리가 공간좌표를 괜히 배운것이 아니다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기